pengalaman mengesankan

HELLO GUYS……

guwe disini mau cerita nie terutama pengalaman saya saat PKK (Pengenalan Kehidupan Kampus) atau yang dulu disebut OSPEK Perguruan Tinggi.

Pengalaman guwe saat PKK (Pengenalan Kehidupan Kampus) atau yang dulu disebut OSPEK Perguruan Tinggi bisa dibilang ada sisi menyenangkannya dan juga ada sisi yang gak menyenangkannya. Sisi menyenangkannya adalah ketika guwe sekarang sudah mulai meranjak dari yang dulunya siswa tapi sekarang telah menjadi mahasiswa dan ketika mau masuk perguruan tinggi itu guwe bisa mengenal dan berkenalan dengan banyak orang baik itu laki-laki mau pun perempuan serta bertemu orang-orang dari seluruh penjuru indonesi atau  pun luar negeri. Dan dimasa inilah mungkin masa yang takkan terlupakan bagi siapapun termasuk guwe. Karena disini guwe bisa belajar bedanya berorganisasi pada saat guwe di SMP, SMA dengan berorganisasi di Perguruan Tinggi (PT). ternyata setelah guwe dapat penjelasan dari kakak tingkat guwe ternyata banyak yang berbeda salah satu contohnya,kalau di  organisasi SMA atau SMP guru dan staf membuat panitia tersendiri pada saat acara yang berguna untuk mengatur anak-anak yang bisa dibilang itu guru panitia sedangkan murid-murid hanyalah pelaksananya saja sedangkan pada organisasi Perguruan Tinggi mahasiswa membuat panitia dan staf atau dosen-dosen terserah kepada mereka  mau membuat kepanitiaan juga atau tidak. Jika staf dan dosen-dosen membuat kiepanitianjuga mereka tidag bisa ikut campur dalah kepanitian mahasiswa yang bisa dibilang mahasiswa panitia dan mahasiswa lah juga yang mengatur segala macam dan tatacara serta konsep acaranya. itu cuma salah satunya saja dan masih banyak yang lain.

Kembali lagi pada pengalaman guwe pada saat PKK (Pengenalan Kehidupan Kampus) atau yang dulu disebut OSPEK Perguruan Tinggi. Pada hari pertama kami (termasuk guwe) udah mulai di test nie. Kami disuruh bernyanyi, membuat kelompok, membuat yel-yel, dll. Hari itu bisa dikatakan panitianya belum terlalu serius. Pada hari kedua kami pun disuruh datang pagi-pagi kurang lebih pukul 07.00 sudah harus ada dilokasi kampus yang telah ditetapkan pada  hari kedua inilah panitinya sudah mulai serius menangani kami. Banyak sekali aturan yang dibuat oleh panitianya. Yang pertama kami tidag boleh membawa kendaraan, terus membawa banda-benda yang dapat melukai orang, rokok  dan yang terakhir HP (padahalkan HP buat kami kumunikasi dengan orang tua kami buat minta jemput  -,,-) tetapi semua hal yang dilarang itu semuanya kami akui memiliki magsud dan tujuan yang baik bagi kami semua.

Pada hari ketiga kami bisa agak berlega diri karena hari ini kami hanya PKK (Pengenalan Kehidupan Kampus) atau yang dulu disebut OSPEK Perguruan Tinggi (UNIVERSITAS) saja. Jadi kami bebas dari maki-maki kakak tingkat kami. Tetami PKK UNIVERSITASnya bisa dikatakan cukup membosankan bagi kamisemua meski kami dibuat kelompok yang isinya gabungan dari seluruh fakultas didalah universitas tersebut. Dibandingkan hari pertama yang kami hanya dibuat kelompok sesama fakultas saja. Sampai hari keempat sih sanagat membosankan karena ya…  kami hanya mendengarkan materi-materi saja mana ruangan SERBA GUNA yang luas jadi terkadang suara para pemateri itu tidak terlalu terdengar jelas oleh telinga kami ditambah mahasiswa-mahasiswa yang lain pada ribut semua disana ntah apa yang mereka ributkan. DALAM FORUM mereka malah membuat FORUM sendiri.(tak patut dicontoh itu)

Pada sore harinya kami dikumpulkan oleh kakak tingkat yang ingin memberikan penggumuman. Tenyata kami diberikan tugas untuk mencari makan, minuman , dan membuat name tag serta buah-buahan yang menjadi teka teki dengan dibuat beda nama dan lainnya. hampir semalaman kami mencari makanan, minuman serta membuat tugas yang disuruh kakak tingkat sampai-sampai kami kebanyakan tidak ada yang tidur malam itu. Setelah dengan segala kepasrahan kerena bnayak teka teki yang tidak dapat kami pecahkan maka kami pun bersiap kena hukuman tambahan Karena tidak lengkap.

Hari kelima kami semua pun harus bangun dan datang ke kampus lebih pagi lagi kurang lebih pukul 05.20 karena hari ini adalah PKK fakultas ya… yang bisa dibilang disinilah mental dan kepribadian kami ditest dan ditempah oleh kakak-kakak tingkat. Tapi sayangnya pada hari itu saya telat, tapi sebenarnya bukan saya saja yang telat banyak juga yang telat. Kami semua pun yang telat mendapat hadiah dari kakak-kakak tingkat kami terutama push up, sit up, sekotjam, serta maki-makian dari kakak tingkat tapi kami semua tak berkecil hati karena mendapatkan hadiah seperti itu kami cukup berpikir fositif saja.siang pun tiba pada pukul 12.30 kami dibawa ke lantai 2 gedung kuliah bersama II untuk melaksanakan makan siang bersama kami pun dibariskan seperti tahanan (untuk pemikiran orang yang pikirannya dangkal saja padahal kami dibariskan itu seperti antrian saja hehehe).

Setelah makan siang kami pun diberi materikan lagi tentang gima sih kehidupan dikampus itu dan penjelasan tentang macam-macam program studi yang ada di universitas serta mata kuliahnya apa saja. Setelah sore kami bersiap untuk melaksanakan pentas seni yang telah disuruh dari beberapa hari yang lalu. Didalan pentas seni tersebut banyak terdapat kelucuan yang kami dapat secara tidak sengaja oleh pemerannya misalnya ada yang jogek tidak karuan, ada yang drama menggunakan masing-masing bahasa daerah dan ada yang pantomim  dan masih banyak lagi. Setelah semua kelompok telah maju dan telah terpilih kelompok yang paling bagus maka kami selanjutnya dikukuhkan menjadi adik tingkat dari fakultas tersebut secara sah. Kami pun dibubarkan agar segera pulang dan beristirahat dirumah. Dan kami semua pun p[ulang kerumah masing-masing. kami (terutama saya) masih terbayang-bayang peristiwa PKK (Pengenalan Kehidupan Kampus) atau yang dulu disebut OSPEK Perguruan Tinggi sampe sekarang.semuanya terasa indah walau capek.

Oke GUYS…. sekian dari saya terima kasih.

MOTTO :  tidak usah menjadi pohon diatas gunung jika diri kita hanya mampu menjadi ilalang di  sempanjang kaki gunung tapi kita wajib berusaha terlebih dulu menjadi pohon yang berada diatas gunung itu sebelum menjadi ilalangnya.

RAngkuman MAtematika LEngkap
TUGAS  MATEMATIKA

MENCARI  MATERI  DARI  KELAS  X S/D KELAS  XII [PROGRAM  IPA]

D
I
S
U
S
U
N
OLEH

DIAN  NUR  IKHSAN
XII  IPA


DINAS  PENDIDIKAN NASIONAL
SMA  N  9 KOTA  BENGKULU



Kelas X
BAB I

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real.  Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a ﾀ R dan n ﾀ bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a,      n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a1=a

PANGKAT BILANGAN POSITIF DAN PANGKAT BILANGAN NEGATIF
Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n  ﾀ A dan a  ﾀ   R, maka:
a. am x an  =  a m+n    
b. am : an  =  am-n, m>n
c. (am)n  =  amxn
d. (a x b)n  =  an x bn
e. (a : b)n  =  an  :  bn
Pembuktian  Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No. Sifat-sifat Bukti Contoh
1. am x an  =  a m+n am x an  = (a  x a xﾅx a) x ( a x a xﾅx a)
                   m faktor               n factor
             = a x a x a x a x a ﾅﾅx a
                     (m + n) faktor
             = am+n                
 a.  23 x 25 = 23+5=28
b.  a4 x a5 = a4+5 = a9
c.  (2x + 3)2 (2x + 3)3
     = (2x + 3)2+3
     = (2x + 3)5
2. am : an  =  am-n, m > n am   =  am-n+n   =   am-n. an  =        an___  = am-n.1 = am-n
an         an               an            am-n . an  
 a.  36 - 34 = 36-4 = 32
b.  (a-1)5  = (a-1)3
     (a-1)2  

3. (am)n  =  amxn   (am)n  = am x am x am x ﾅ(am)
                 n faktor
= (a x a x ﾅ) x (a x a x ﾅxﾅx(a x a x ﾅ)
    m faktor                              m faktor
                             n faktor
= a x a x a x a x a = ...  ...  ... x a  = (a)mn
               (m x n ) faktor
 a. (23)4 = (2)3x4= 212

b. (x2)3 = (x)2x3 = x6
4. (a x b)n  =  an x bn (a x b)n  = (a x b) x (a x b) xﾅ.x (axb)
                               n factor
             = (a x a x ﾅx a) x (b x b x ﾅ x b)
                     n faktor            n faktor
             = an x bn
 a. (2 x 3)4 = 24 x 34

b.(a2 x b3)4 =a8 x b12


5.  ( a  )n  =    an  
   b            bn ( a  )n  =    a/b x a/b x a/b x ﾅx a/b
  b                       n faktor
           =    a x  a x a x ﾅ x a ,    n faktor
                  b x b x b x ﾅ x b ,   n faktor
           =     an
                 bn a. ( 2/3)2  =  22/32
b. (a/b)3  =  a3/b3
c. (a2/b3)4=a8/b12
Bagaimana Arti Pangkat Nol  dan Bulat negatif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .  Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.

Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a ﾀ R, maka   ao = 1  (oo tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.
ao . an  =  ao+n  =  an    bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh:     ao+n  =  an  
                                                                                                        an     an                        
                                    ao . an   =  an  
                                         an       an
                                     ao (1)  =  1
                                     ao       =  1

Pengertian pangkat bulat negatif
Jika a ﾀ R , a ? 0 dan  n ﾀ bilangan positif, maka   a-n .   1   =  1   dan   a-n  =   1
                                                                                     a-n                            an    
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n  =  an+(-n)
 an . a-n  =  ao
 an . a-n  =  1
bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh:
an . a-n   =   1      ?     an   . a-n   =   1    ?   1  .  a-n   =   1    ?   a-n  =  1
   an           an               an              an                          an                   an

CONTOH :
1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !
a. 3-2
JAWAB:    3-2 =       1
                32
       b. (x + y)-3
JAWAB:   (x + y)-3 =         1      
                                     (x + y)3


BENTUK AKAR

Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya.  Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.

Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis  a/b) atau sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !
a.  6   b.  -30  c.  25% d.  0,4  e.  ?4
Jawab:
a.  6 = 12         b.  -90  .            
            2                         3
c.  2 5   =   ﾼ    d.  0,4  =   4    
    100          10
e. ?4 = 2 = 2/1
A.  Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !
22 = 4  maka  2 = ?4
23 = 8  maka 2  =  3?8
24 = 16  maka  2  =  4?16
25  =  32  maka 2  =  5?32
Untuk n bilangan bulat dan n ? 2 berlaku hubungan  a1/n  =  n?a
Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat.  Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar.  Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:
            Bentuk Pangkat Pecahan                  Bentuk Akar                                            
1. a1/m  x  a1/n  =  a1/m + 1/n = a n+m                      ?                    m?a  x  n?a  =  mn?an + m mn
       2.   a1/m  :  a1/n  =  a1/m-1/n  =  an-m                                ?          m?a  :  n?a  =  mn?an - m mn
       3.    (a1/m)1/n  =  a1/m x 1/n  =  a1/mn          ?                    n?a . m?a  =  mn?a
       4.      (ab)1/n  =  a1/n  x  b1/n           ?                    n?ab  =  n?a  x  n?b
       5.        (a/b)1/n  =  a1/n                                    ?            n?a/b  =  n?an?b
Sifat-sifat yang lain:                                                                              
6. a-1/n  =  ( a1/n)-1  =   1      =     1                
                                   a1/n               n?a
     7. am/n  =    (a1/n )m  =   ( n?a)m     atau am/n  =  (am)1/n  =   n?am
      8.    ( ?x )2  =  x
      9.    ?x y     =  ?x  .  ?y
      10.   ?x/y    =  ?x/?y

Contoh;

1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk  berikut kemudian nyatakan ke dalam bentuk akar ﾡ
    a.  aﾽ  x  a?                                          b.  ( a ?)ﾾ
Jawab:                                                             Jawab:
aﾽ  x  a?  =  aﾽ+?    = a7/12  =  12?a                             ( a ?)ﾾ  = a? x ﾾ = aﾽ   = ?a

B.   Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar.  Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
NO Sifat-sifat Bukti Contoh
1. (?x)2 = x ?x = a   ?   x = a2
Maka (?x)2  =  (a)2  =  x a.  (?5)2  =  5
b.  (?2a)2  =  2a
c.  (?x + 1)2  =  x  + 2?x + 1
2. ?xy = ?x . ?y ?x  =  a   ?   x = a2
dan
?y = b   ?   y = b2,  maka
?xy  =  ?a2 . b2
        =  ?(ab)2  =  a b = ?x  . ?y
 ?48 = ?16 x3  =  ?16 x ?3
                    =   4?3
4?150  =  4?25 x 6
             = 4 ?25 x ?6
             = 4 (5) x ?6
             = 20?6
3. ?x/y = ?x
            ?y ?x = a Jika dan hanya jika  x = a2
?y = b Jika dan hanya jika y = b2
Maka,
?x/y = ?a2/b2  =  ?(a/b)2  
                        =  a   =  ?x
                             b      ?y ?64/49 = ?64   =    8
              ?49         7
4. n?an  =  (an)1/n  =  a ,
a ?0 Silahkan buktikan
Sebagai latihan! 3?8 = (8)?
          = (23)?
          =  23/3  =  1
5. n?an b = n?an x n?b
           = a n?b,
A dan b ?0 Silahkan buktikan
Sebagai latihan! ?72 = ?36 x 2 = ?36 x ?2
                     = (62)1/2 x  ?2
                   =  6 ?2

C.  Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar.  Operasi aljabar yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.  Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

1.  Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka  a?c + b?c = (a+b)?c  dana   ?c - b?c = (a-b)?c
Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.  Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau  irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan real.
a?c  +  b?c  =  (a+b)?c   (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
a?c   -  b?c  =   (a-b)?c   (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1.  a?c  +  b?c  =  (a+b)?c
2.  a?c   -  b?c  =   (a-b)?c
3.  b n? a  x  d n? c  =  bd n ?ac
4.  b n? a  :  d n? c  =  b/d n ?a/c
n? a  dan  n? c  ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.
Contoh
Sederhanakanlah bentuk akar berikut ﾡ
1.  10 ?3  +  2 ?3  -  5 ?3
2.  4 ?72  +  3 ?50 - 2?18
3.  p ?a  -  q ?a  +  r ?a
4.  2 ?4  x  6 ?3
5.  10 ?32  :  2 ?2
Jawab
1.  10 ?3  +  2 ?3  -  5 ?3    =  (10+2+5)?3  = 17 ?3
2.4 ?72  +  3 ?50 - 2?18  =  4 ?36 x 2  +  3 ?25 x 2 - 2 ?9 x 2  =  4(6) ?2 +  3(5) ?2  - 2(3)?2
                                                                                      =  24?2  +  15?2  -  6 ?2
                                                                                                  =  (24+15-6) ?2  = 33 ?2
3.  p ?a  -  q ?a  +  r ?a  =  (p - q + r) ?a
4.  2 ?4  x  6 ?3  =  (2 x 6)?12  =  12 ?4 x 3  =  (12 x 2) ?3  =  24 ?3
5.  10 ?32  :  2 ?2  =  (10/2) ?32/2  =  5 ?16  =  5(4)  =  20

2.  Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x ,  y anggota bilangan real positif, maka:
 ? x  . ?y  =  ?xy
Contoh
Sederhanakanlah !
1.  ?50  x  ?2  2.  ?32  x  ?12,5   3.  ?ﾽ  x  ?50  4.  ?2  x  ?5  x  ?10
Jawab
1.?50  x  ?2  = ?(50 x 2)  =  ?100  =  10    2. ?32 x ?12,5 = ?(32 x 12,5) = ?400  = 20
3.?ﾽ  x  ?50  =  ?(ﾽ x 50)  =  ?25  =  5    4.?2  x  ?5  x  ?10 = ?(2 x 5 x 10) = ?100 = 10

3.  Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka    ?x/y   =   ?x ?y
Contoh
Sederhanakanlah !
1. ?108           2.  ?112,5  3.  ?12a2            4.  ?xy4
     ?27            ?12,5                           ?3a2                                          ?x3y2
Jawab  
1. ?108           2.  ?112,5  3.  ?12a2            4.  ?xy4
     ?27            ?12,5                      ?3a2                                                   ?x3y2
    = ?108/27        =  ?(112,5/12,5)       =  ?12/3 a2          =  ?y2/x2
    = ?4         =  ?9        =  ?4 a2                 =  ?y2      =  y
    = 2         =  3        =  2ﾪ                                 ?x2             x
D.  Merasionalkan Penyebut

Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya.  Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut.  Untuk memudahkan bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:

1.   ?a  x  ?a    akan menghasilkan bilangan rasional         a
2.  ( a  +  ?b)  x    ( a  -  ?b)       akan menghasilkan bilangan rasional             a2  -  b
3.  (?a  +  ?b)  x   (?a  - ?b)       akan menghasilkan bilangan rasional              a  -  b

Pembuktian:
1.   ?a  x  ?a  =  ?a2  = a
2.    ( a  +  ?b)  x    ( a  -  ?b) =  a2 - a ?b  + a ?b  - (?b)2  =  a2  -  b
3     (?a  +  ?b)  x   (?a  - ?b) =  (?a )2 - ?a . ?b  +  ?a . ?b -  (?b)2  =  a - b
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
1.  ?5 . ?5   2.  (?8  +  ?2) (?8  -  ?2 )  3.  (2 + ?3) (2 - ?3)
4.   (2?3 + 3?5) (2?3 - 3?5)
Jawab:
1.  ?5 . ?5 =  5     2.  (?8  +  ?2) (?8  -  ?2 ) = 8 - 2 = 6
3.  (2 + ?3) (2 - ?3) = 4 - 3 = 1  4.   (2?3 + 3?5) (2?3 - 3?5) = 12 - 45 = -33



LOGARITMA

1.   Pengertian Logaritma

Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan.  Bentuk an dikenal sebagai bilangan berpangkat.  a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen.  Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an  dapat dihitung dan b disebut numerus.  Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan
24 = 16,  didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2n = 16.
4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.
Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:
alog b = c  ?  ac = b,  dengan syarat a ? 1  dan  a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap bilangan pokoknya adalah 10.
Contoh:
10log 10 = log 10 = 1  dan 10log 100 = log 100 = 2
Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel dibawah ini!

NO.
Bentuk Logaritma
Bentuk Pecahan
Hasil

1 4log 8 = a 4a = 8 a = 3/2
2 3log 27 = b 3b = 27 a = 3
3 2log 1   = c
       64 2c = 1/64  c = -6
4 3log 3?3 = d 3d = 3 3 d = 3/2
5 5log 3? 5 = e 5e = 3 5  e = 1/5
6  ? Log 81 = f (?)f = 81 f = -4
7 1000log ?10 = g 1000g =  10 g = 1/6
8 1/49 log 1/ 7 = h (1/49)h = 1/7 H = ﾼ

2.   Sifat-sifat Logaritma
Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.  Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.

2.1 Logaritma dari perkalian
 Logaritma dari  perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:
alog MN = alog m + alog n,    dengan syarat a ? 1 dan  a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal  M = an   ?   alog M = p   dan   N = aq    ?    alog N = q   sehingga   MN = ar  ?  alog MN = r
Karena  ar  =  MN, maka alog MN =  r  =  p + q  =  alog M + alog N ( terbukti )

2.2 Logaritma dari pembagian
 Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

alog(M : N)  =  alog m - alog n,    dengan syarat a ? 1 dan  a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal  M = an   ?  alog M = p   dan   N = aq    ?   alog N = q   sehingga  M:N = ar  ?  alog M : N = r
Karena  ar  =  M : N, maka alog ( M : N ) =  r  =  p - q  =  alog M - alog N ( terbukti )
2.3 Logaritma dari perpangkatan
 Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan logaritma bilangan pokok.
alog Mp  =  p. alog M, dengan a ? 0,  dan a, M, p > 0
                                                                             
2.4 Mengubah basis logaritma
 Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:
                                                                               Mlog N =  aLog N
                                                                                   aLog M ,   dengan syarat a, M ? 1   dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = ap   ?    alog M = p
          N  = aq   ?     alog N = q
Maka    MLOG N  =    aP log aq    =  q .aP log a  =     q .aP log (ap)1/p  =  q/p = alog N
                                                                                                                 alog M    (terbukti)

2.5. Perpangkatan dengan logaritma

Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:                                                        
                                                          alog M     = M ,     dengan syarat  a ? 1  dan a, M > 0
                                      a          
Pembuktian:
Misal alog M = p    ?    ap = M

Maka  =        alog M   =    ap     =    M (terbukti)
                    a                                                                        
Contoh:
1. Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dari:
 a.  log 40 + log 25
Jawab.
 log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2
2.   Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai  2log 14 - 2log 7
Jawab  
2log 14 - 2log 7 = 2log (14/7) = 2log 2 = 1
3.  Jika log 2 = 0,3010  dan  log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48
Jawab.
a.   log 48 = log (24 x 3) = log 24 + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771
                     = 1,2040 + 0,4771
4. Jika  2log 3 = a   dan   3log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai  6log 15!
Jawab.                  
 6log 15 = log 15  =   log (3 x 5)  =  3log 3 + 3log 5  =  1  +  b    =  a ( 1 + b)
                       log 6        log (3 x 2)      3log 3 + 3log 2     1  +  1/a       1 +  a


























BAB II
Fungsi Kuadrat
Apa pengertian fungsi? Jika sobat hitung memiliki bentuk persamaan y = f(x) bisa dikatakan sebagai y merupakan fungsi dari x, jika ada hubungannya antara variabel x dan variabel y sedemikian serupa sehingga untuk setiap x didapat tepat sebuah y. Bingung ya? Gampangnya fungsi adalah hubungan yang menerjemahkan hubungan antara x dengan y. Ia menghubungkan setiap x tepat dengan setiap y. Jika hubungannya melibatkan operasi kuadrat, maka disebut fungsi kuadrat.
Nilai fungsi y = f(x) jika x = x1 maka y bernilai y= y1 = f(x1). Jadi x1 dan y1 merupakan pasangan  titik koordinat yang menyusun grafik fungsi y = f(x).
Fungsi Kuadrat
Bentuk Umum dari fungsi kuadrat adalah
f(x) = ax2 + bx + c atau
y = ax2 + bx + c
Selain penulisan fungsi kuadrat seperti di atas, ada penulisan lain dalam bentuk
" Bentuk Pemetaan    F : R -> R
x -> ax2 + bx + c,  a, b, c ? R ,a ? 0
" b. Bentuk Himpunanf {(x,y)I y = ax2 + bx + c; a, b, c ? real a ? 0
A.  Persamaan Kuadrat
1) Bentuk umum persamaan kuadrat   : ax2 + bx + c = 0, a   0
2) Nilai determinan persamaan kuadrat  : D = b2 - 4ac
3) Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

4) Pengaruh determinan terhadap sifat akar:
a) Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda
b) Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional
c) Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar-akar)
5) Jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar persaman kuadrat
Jika x1, dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
a) Jumlah akar-akar persamaan kuadrat  :
b) Selisih akar-akar persamaan kuadrat :  , x1 > x2
c) Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
a.    =
b.   =
Catatan:
Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka
1. x1 + x2  = - b
2.
3. x1 ﾷ x2  = c
Grafik Fungsi Kuadrat
1. Hubungan dengan sumbu y (jika x=0)
Jika dari persamaan y = ax2 + bx + c kita masukkan x = 0 maka akan ketemu y = c. Jadi titik potong parabola dengan sumbu y adalah titik dengan koordinat (0,c).
2. Hubungan dengan sumbu x (y=0)
Dari bentuk ax2 + bx + c jika y = 0 maka akan menghasilkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dari persamaan ini di dapat nilai D (diskriminan) D = b2-4ac.
1. Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
2. Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)
3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah sumbu x)
" dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu positif (melayang di atas sumbu x)
"  dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)
3. Harga Ekstrem dan Titik Puncak
rumus menentukan harga ekstrem
(xp,yp) = (-b/2a, D/4a)
untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.
Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah titik yang diperoleh dengan mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi kuadrat adalah titik P (-b/2a, D/4a). Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik minimum jika a < 0.
4. Sumbu Simetri
Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.
Persamaan untuk sumbu simetris adalah x = -b/2a

B. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk BAKU  pertidaksamaan kuadrat adalah
ax2 + bx + c ? 0, ax2 + bx + c ? 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0
Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)
2.Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar-akar persamaan kuadratnya)

3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:
No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan
a >
Hp = {x | x < x1 atau  x > x1} " Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

" x1, x2 adalah akar-akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

b ?
Hp = {x | x ? x1 atau  x ? x1}
c <
Hp = {x | x1 < x < x2}
" Daerah HP (tebal) ada tengah
" x1, x2 adalah akar-akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0


d ?
Hp = {x | x1 ? x ? x2}
B.  Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar   dan  , dimana   = f(x1) dan   = f(x2) dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
1.  Menggunakan rumus, yaitu:
 x2 - (  +  )x +     = 0
 catatan :
 Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :
 a.
b.
2. Menggunakan metode invers, yaitu jika   dan   simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:
  , dengan  -1  invers dari
 catatan:
 Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus:  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat
1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):


D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola
 Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h :  y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.


TEOREMA
Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h :  y = ax2 + bx + c.
Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:
 yh = yg
ax2 + bx + c  = mx + n
ax2 + bx  - mx+ c - n  = 0
ax2 + (b  - m)x + (c - n)  = 0ﾅﾅﾅﾅ.Persamaan kuadrat baru
Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:
D = (b - m)2 - 4a(c - n)
Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:
1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya
1. Jika fungsi  ) y = ax2 + 6x + (a+1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai ekstrimnya  !
jawab :

2. Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang, maka lukislah  f (x) = -ax2-bx+c

3. Jika parabola  f(x) = x2-bx+7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya adalah?













BAB III
Persamaan Linear

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.






Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)
Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan xy bukanlah persamaan linear.


Contoh
contoh sistem persamaan linear dua variabel:
 ,
 ,

Bentuk Umum

Bentuk standar

Bentuk titik potong gradien
Sumbu-y

dimana m merupaka gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.
Sumbu-x

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.
Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel
Sebuah persamaan linear bisa lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

dimana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a1 adalah koefisien, x dan n merupakan variabel dan b adalah konstanta.
A. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV)
Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk Umum PLDV :       ax + by = c       x dan y disebut variable

B. Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang      mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum SPLDV :
ax + by = c      px + qy = r     dengan  x , y disebut variabel                a, b, p, q disebut keifisien                c , r disebut konstanta   C.

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
1. Bentuk umum :
2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.
3. Metode determinan:
D =  = a1b2 - a2b2;
Dx =  ; Dy =  ;
  x =  ;          y =
D. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)
Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Metode Substitusi
Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain
contoh :  Carilah penyelesaian sistem persamaan  x + 2y = 8 dan  2x - y = 6
jawab :  Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu   x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi  x = 8 - 2y,
Kemudian persamaan yang diubah  tersebut disubstitusikan ke persamaan

2x - y = 6  menjadi :2 (8 - 2y) - y = 6  ; (x persamaan kedua menjadi  x = 8 - 2y)
16 - 4y - y = 6
16 - 5y = 6
-5y = 6 - 16
-5y = -10
5y = 10
y =  2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4  = 8
x = 8 - 4
x = 4
Jadi  penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan  y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}


2. Metode Eliminasi
Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.
contoh :
Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab  ;

x + 2y = 8
2x - y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8  | x 2 | -> 2x + 4y = 16
2x - y = 6   | x 1 | -> 2x -    y = 6      -   ﾅﾅﾅ*
5y  = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
x  + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 - 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8  | x 1 | -> x + 2y =   8
2x - y = 6   | x 2 | -> 4x - 2y = 12      +   ﾅﾅ*
5x  = 20
x  = 4
masukkan nilai x = 4  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
4  + 2y = 8
2y = 8 - 4
2y = 4
y = 2
4  = 2
HP =  {4, 2}


C. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan grafik garis  lurus.
Penyelesaiannya didapatkan dengan menggunakan titik potong antara dua garis lurus tersebut pada grafik garis lurus.
Contoh : kita ambil contoh soal di atas
Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan  2x - y = 6
Langkah-langkah penyelesaiannya :
1. Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari  kedua persamaan

Persamaan (1)
x + 2y = 8
titik potong dengan sumbu x  apabila y = 0
x + 2y = 8
x + 2.0 = 8
x = 8
titik potong dengan sumbu y  apabila x = 0
x + 2y = 8
0 + 2.y = 8
2y = 8
y   = 4
Persamaan (2)
2x  - y = 6
titik potong dengan sumbu x  apabila y = 0
2x -  y = 6
2x - .0 = 6
2x = 6
x =  3
titik potong dengan sumbu y  apabila x = 0
2x -  y = 6
0  -  .y = 6
-y  = 6
y =  -6
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1. Bentuk umum :
2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.
3. Metode determinan:
D =  =

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) -
   (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
 Dx =  ; Dy =  ;  Dz =  ;
x =  ; y =  ;  z =





















BAB  IV
TRIGONOMETRI

A. Trigonometri Dasar
" sin   =
" cos   =
" tan   =
B. Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30ﾺ, 45ﾺ, 60ﾺ)
Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku-siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2)
 ﾺ sin cos tan
   gambar 1                            gambar 2
30 ﾽ ﾽ


45 ﾽ
ﾽ
1
60 ﾽ
ﾽ

C. Bentuk Umum

D. Sudut-Sudut Istimewa

E. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi
Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar 3

1. Sudut berelasi (90ﾺ -  )
a) sin(90ﾺ -  )  = cos
b) cos(90ﾺ -  )  = sin
c) tan(90ﾺ -  )  = cot

2. Sudut berelasi (180ﾺ -  )
a) sin(180ﾺ -  )  = sin
b) cos(180ﾺ -  )  = - cos
c) tan(180ﾺ -  )  = - tan

3. Sudut berelasi (270ﾺ -  )
a) sin(270ﾺ -  )  = - cos
b) cos(270ﾺ -  )  = - sin
c) tan(270ﾺ -  )  = cot

4. Sudut berelasi (-  )
a) sin(-  )  = - sin
b) cos(-  )  = cos
c) tan(-  )  = - tan  





gambar 3

F. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen
 

G. Rumus-rumus Trigonometri

1. Aturan sinus



2. Aturan Cosinus


3. Rumus-Rumus dalam Segitiga
1. Aturan sinus :
Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:
 
2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

3. Luas segitiga
a) L = ﾽ a ﾷ b sin C :   dengan kondisi "sisi sudut sisi"
b) L =   :   dengan kondisi "sudut sisi sudut"
c) L =  , s = ﾽ(a + b + c)  :   dengan kondisi "sisi sisi sisi"

4. Luas Segitiga ABC

 5.Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1) sin (A   B)  = sin A cos B    cos A sin B
2) cos (A    B)  = cos A cos B   sin A sin B
3) tan (A    B) =

  6. Sudut 2A (Sudut Kembar)

7.  Perkalian Sinus dan Kosinus
1) 2sin A cos B   = sin(A + B) + sin(A - B)
sin A cos B   = ﾽ{sin(A + B) + sin(A - B)}
2) 2cos A sin B   = sin(A + B) - sin(A - B)
cos A sin B    = ﾽ{sin(A + B) - sin(A - B)}
3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A - B)
cos A cos B = ﾽ{cos(A + B) + cos(A - B)}
4) -2sin A sin B = cos(A + B) - cos(A - B)
sin A sin B = -ﾽ{cos(A + B) - cos(A - B)}
 8. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen
1) sin A + sin B  = 2sin ﾽ (A + B) ﾷ cos ﾽ(A - B)
2) sin A - sin B  = 2cosﾽ (A + B) ﾷ sin ﾽ(A - B)
3) cos A + cos B = 2cosﾽ (A + B) ﾷ cos ﾽ(A - B)
4) cos A - cos B = -2sinﾽ (A + B) ﾷ sinﾽ(A - B)
5) tan A + tan B  =
6) tan A - tan B  =
  9. Sudut Rangkap
1) sin 2A   = 2sinAﾷcosA
2) cos 2A  = cos2A - sin2A
= 2cos2A - 1
= 1 - 2sin2A
3) tan 2A =
4) Sin 3A = 3sin A - 4sin3A
 10. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri

 11. Persamaan Trigonometri

" Bentuk:  A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat


12. Bentuk a Cos x + b Sin x
   
13. Bentuk a Cos x + b Sin x = c

11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x
Contoh :
a. Hitunglah cos 75ﾰ.
b. Buktikan :

Jawaban :
a. cos 75ﾰ = cos (45ﾰ + 30ﾰ) = cos 45ﾰ cos 30ﾰ - sin 45ﾰ sin 30ﾰ



BAB  VI
DIMENSI TIGA
A. JARAK

1) Garis Tegak Lurus Bidang
Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu.

2) Jarak Titik dan Garis
Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA', dengan titik A' merupakan proyeksi A pada g.

3) Jarak titik dan bidang
Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA' dengan titik A' merupakan proyeksi titik A pada bidang.

4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar
Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut.

5) Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar
Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan  garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.


6) Jarak Antar titik sudut pada kubus



CATATAN PENTING
Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari.
B. SUDUT
1) Sudut Antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang.

2) B. Sudut Antara Dua Bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang   dan
CATATAN PENTING
Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga.

Kelas XI IPA
BAB VII
STATISTIKA
A.     Tahukah andaﾅ.?
Pada mulanya statistika dipergunakan oleh "Caesar Augustus" pada zaman Romawi untuk memperoleh keteerangan-keterangan yang dibutuhkan seperti nama, jenis kelamin, umur, pekerjaan dan jumlah keluarga penduduk negarannya. Mendekati pertengahan abad XX, antara tahun 1918-1935, pemakaian statistika mengalami kemajuan yang sangat pesat. Hal ini dipelopori oleh "r.Fisher" yang memperkenalkan analisis variasi dalam literature statistika.
B.     Pengertian Dasar Statistika
Perhatikan situasi sederhana berikut!
Bima diminta Pak Guru mencatat warna favorit semua siswa dikelasnya. Lalu dia mengedarkan secarik kertas dan meminta teman-temannya menuliskanwarna favorit mereka dikertas tersebut.
Bima menyajikan informasi yang diperoleh dengan menggunakan diagram
Warna-warna yang menunjukkan inforamsi yang diperolaeh disebut data statistika, atau secara singkat disebut data.
Kita dapat melihat bahwa statistika berhubungan dengan empat hal, yaitu :
1.   Pengumpulan data,
2.   Pengorganisasian data,
3.   Penyajian data, dan
4.   Penafsiran data.

Data statistik bisa diperoleh dengan cara-cara berikut :
Wawancara kepada beberapa orang tentang pandangannya terhadap program baru yang ditayangkan sebuah tv swasta.
C.  Jenis-jenis Data
Menurut jenisnya, dibagi dua  yaitu data kuantitatif dan data kualitatif.
Data kuantitatif adalah data yang dipeeoleh dari hasil mengukur atau menghitung. Contohnya data nilai ulangan metematika siswa kelas XIA, data tinggi badan seluruh anggota, atau data waktu yang dicapai para pembalap F1 untuk menyelasikan seluruh putaran selalu berupa bilangan.
Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang dimiliki obyek yang diteliti. Biasanya data kualitatif tidak dapat dituliskan dalam bentuk bilangan. Contohnya data pendapat masyarakat terhadap kinerja pemerintah. Cata kualitatif bisa disebut data kategori.
D.  Statistika  dan Statistik
Dua kata yang sangat mirip ini memiliki hubungan yang sangat erat. Ketika kita mengatakan "statistika", maka kita membicarakan satu cabang matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.
Statistik adalah segala inforamsi yang bisa kita dapatkan dari data. Untuk mempeoleh statistic maka kita harus mengunakan statistika. Berdasarkan kebutuhan terhadap pengolah data statistik dibagi dua :
1. Statistik deskriptif, yaitu segala informasi yang bisa menggambarkan data yang diperoleh.
2. Statistik inferensi, yaitu statistic yang diperoleh dari data yang ada, dan digunakan untuk menarik kesimpulan tentang populasi objek yang lebih besar.
E.  Populasi dan Sampel
Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta pembicaraan), sementara sebagainpopulasi yang benar-benar diambil datanya dan dibuat statistiknya disebut sampel.
F.   Data Tunggal
Suatu statistika dikatakan data tunggal jika banyak variabel yang diteliti hanya satu. variabel adalah data yang ingin diketahui dari setiap objek poupulasi.
1. Pemeriksaan data.
Data yang diambil harus diperiksa sebelum diolah. Data harus sesuai dengan kondisi yang sebenarnya. Ingat bahwa datum yang slah dalam data akan mempengaruhi perhitungan dan hasil-hasil pengolahan data.
2. Pembulatan Data
Beberapa aturan pembulatan data sebagai berikut :
" Angka lebih dari 5 dibulatkan jadi 10 pada tempatnya. Artinya angka yang mendahuluinya ditambah 1 pada tempatnya.
" Angka kurang dari 5 dibulatkan jadi 0 pada tmpatnya. Artinya angka yang mendahuluinya tetap.
" Angka sama dengan 5 dibulatkan jadi 0 jika angka yang mendahuluinya ganjil. Dengan demikian hasil pembulatan selalu genap, aturan terakhir ini disebut aturan genap terdekat.
325,4 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 325.
325,4999 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 325.
325,51 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 326.
327,39 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 327,4.
3. Penyusunan Data.
Dalam statistika, data sebaiknya diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar, atau sebaliknya. Hal ini dilakukan untuk memudahkan penyajian dan analisis data. Data nilai 3 5 7 8 4 2 1 8 6 6 3 2 9 diurutkan menjadi     1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9.
4. Data terbesar, terkecil.
Sekali data telah terurut maka dengan mudah kita menentukan nilai data terbesar dan data terkecil.
Pada data 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 data terkecilnya adalah 1 dan data terbesarnya adalah 9.
Median adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian yang sama banyAK
Kuartil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seperempat-seperempat bagian. Untuk membagi data menjadi empat bagian sama besar kita memerlukan tiga sekat.



GAMBAR DIAGRAM -DIAGRAM






















BAB VIII
Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Peluang Suatu Kejadian
a) Kisaran nilai peluang : 0   P(A)   1
b) P(A) =  , n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel
c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 - P(A)
d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
e) Peluang dua kejadian saling lepas  : P(A B) = P(A) + P(B)
f) Peluang dua kejadian saling bebas  : P(A B)  = P(A) ￗ P(B)
g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas)  : P(A/B)  =
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1?
 Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n - k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 - P).

1) Aturan perkalian
Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 ￗ a2 ￗ a3 ￗ ... ￗ an.

2) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB   BA), jenisnya ada 3, yaitu:
a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda;
b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama;  ,n1 + n2 + n3 + ﾅ   n
c) Permutasi siklis (lingkaran);  
Permutasi k unsur dari n unsur  adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis  atau  .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

3) Kombinasi
Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).
Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk  Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri











BAB IX
Lingkaran



Elemen-elemen suatu lingkaran.
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebutpusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
Elemen lingkaran
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:
" n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Elemen lngkiaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
" Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
3. Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

" Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan

dengan   adalah jari-jari lingkaran dan   adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu


yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
Persamaan Lingkaran
1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jarinya (r)
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
2) Bentuk umum persamaan lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat (- ﾽ A, -ﾽB) dan jari-jari: r =
3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:


Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran
a) Garis singgung lingkaran:  x2 + y2 = r2
x x1 + y y1 = r2
b) Garis singgung lingkaran : (x - a)2 + (y - b)2 = r2
(x - a) (x1 - a) + (y - b) (y1 - b) = r2
c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
xx1 + yy1 + ﾽA(x + x1) + ﾽB(y + y1) + C = 0
2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah-langkahnya:
1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a)
2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan  lingkaran, maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran.
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui
" Garis singgung lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2 dengan gradien m
 y - b = m(x - a)   r
Luas lingkaran

Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dalam koordinat polar, yaitu

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam   dan jari-jari luar  .
Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan ?, yaitu;

dengan batasan nilai ? adalah antara 0 dan 3?. Saat ? bernilai 2?, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam   dan jari-jari luar  , yaitu

di mana untuk   rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

di mana digunakan

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda   mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
]Pi atau ?
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

BAB X
SUKU BANYAK

A. Teorema Sisa
1) F(x) = (x - b)ﾷ H(x) + S, maka S = F(b)
2) F(x) = (ax - b)ﾷ H(x) + S, maka S = F( )
3) F(x) : [(x - a)(x - b)], maka S(x) = (x - a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke-2

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor
(x - b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0

C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak
Bentuk umum : axn + bxn -1  + cxn -2  + ﾅ + d = 0. Akar-akarnya adalah x1, x2, ﾅ, xn.
1) x1 + x2 + ﾅ+ xn =
2) x1 ﾷ x2 ﾷ ﾅﾷ xn =  (bila berderajat genap)
3) x1 ﾷ x2 ﾷ ﾅﾷ xn =  (bila berderajat ganjil)
4) x1 ﾷ x2 + x1 ﾷ x3 + x2 ﾷ x3 + ﾅ =

COntoh Soal :












BAB  XI
FUNGSI   KOMPOSISI   DAN   FUNGSI   INVERS
A. Pengertian Fungsi
Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada elemen himpunan B.
y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x
A = daerah asal (Domain)
B = daerah jelajah (Kodomain)
       
B.ￎ A dipasangkan dengan tepat satu y ￎFungsi atau pemetaan adalah suatu relasidari himpunan A ke Himpunan B dalam hal ini setiap x
B.ﾮSuatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A
Mis.
A B Ket.
a. domainnya adalah {a, b, c, d }
b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4}
c. range adalah { 2, 3 }
B.Domain Fungsi (DF)
1. F(x) =  , DF semua bilangan R, dimana f(x)   0
2. F(x) =  , DF semua bilangan R, dimana g(x)   0

B. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
1. (f g)(x)  = f(g(x))
2. (f g h)(x)  = f(g(h(x)))
3. (f g)- 1 (x)  = (g- 1 f- 1)(x)
4. f(x) =  , maka f- 1(x) =
5. f(x) = alog x, maka f- 1(x) = ax
6. f(x) = ax, maka f- 1(x) = al
Fungsi dan Jenis-jenisnya
1. Sifat-Sifat Fungsi
    a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
B disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = BﾮFungsi f:A
A B
    b. Fungsi Injektif
Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).
A dan a1 ? a2, maka berlaku f(a1) ? f(a2).ￎ B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika
untuk setiap a1, a2 ﾮFungsi f : A
A B
c. Fungsi Bijektif
B denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf  = B.ﾮMisalkan fungsi f : A
A B
B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.ﾮFungsi f : A
2. Operasi Aljabar pada Fungsi
Misalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f - g ) (x) = f(x) - g(x)
3. (f x g) (x) = f(x) x g(x)
4. (x) =
Contoh.
Diketahui f(x) = x2 + 3x - 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x)
Jawab.
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
x2 + 5 = (x2 + 3x - 1 ) + g(x)
g(x) = (x2 + 5) - (x2 + 3x - 1)
g(x) = x2 + 5 - x2 - 3x + 1
g(x) = -3x + 6
C. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f: A  B dilanjutkan fungsi g: B ? C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A ? C
Rumus :
(i) (fog)(x) = f(g(x))
(ii) (gof)(x) = g(f(x))
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2.
Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk
f(1) = 1 + 1ﾮx = 1
f(2) = 2 + 1ﾮx = 2
f(t) = t + 1ﾮx = t
jika x diganti dengan g(x), diperoleh
f(g(x)) = g(x) + 1
= x2 + 1
Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1.
Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca " f bundaran g".
Dengan cara yang serupa, diperoleh
g(f(x) = g( x + 1 )2
= (x + 1)2
Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)
C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturanﾮ B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ﾮMisalkan fungsi f : A
(g o f)(a) = g(f(a))
Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).
Contoh :
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x - 7. Tentukan
a. (f o g )(3)
b. (g o f )(-2)
Jawab :
1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi.
   a. Cara pertama
Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu
(f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x - 7)
= 3(2x - 7) + 5
= 6x - 21 + 5
= 6x - 16
Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) - 16 = 2
Jadi (f o g )(3) = 2
  b. Cara kedua
Kita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2
Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) - 7 = -1
Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))
= f(-1)
= 3(-1) + 5
= 2
2) Ada dua cara juga untuk menentukan nilainya
  a) Cara pertama
(g o f)(x) = g9f(x))
= g(3x + 5)
= 2(3x + 5) - 7
= 6x + 10 - 7
= 6x + 3
Dengan demikian, (g o f)(-2) = 6(-2) + 3= -9
  b) Cara kedua
(g o f)(x) = g9f(-2))
= g(3(-2) + 5)
= g(-1)
= 2(-1) - 7
= - 9
Jadi, (g o f)(-2) = - 9
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu
(f o g )(x) ? (g o f )(x)
Bukti :
Misalkan diketahui fungsi-fungsi
f(x) = 5x - 4
g(x) = 2x + 8
h(x) = x2
Komposisi fungsi f o g dan g o f dapat ditentukan di bawah ini .
  a) (f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x + 8)
= 5(2x + 8) - 4
= 10x + 36
  b) (g o f )(x) = g(f(x))
= g(5x - 4)
= 2(5x - 4) + 8
= 10x - 8 + 8
=10x
Sehingga terbukti (f o g )(x) ? (g o f )(x)
 b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu.
((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
Bukti :
f(x) = 2x + 1
g(x) = x2 - 6x + 7
h(x) = x - 2
Komposisi fungsi ((g o h ) o f)(x) dan (g o (h o f))(x) dapat ditentukan di bawah ini .
     a) ((g o h ) o f)(x) = (( g (x - 2) o f)
= (((x-2)2 - 6(x-2) + 7) o f)
= ((x2-4x+4-6x+12+7) o f)
= (x2-10x+23) o f)
= (f(x))2-10 f(x)+23
= (2x+1)2 - 10(2x+1) + 23
= 4x2+4x+1-20x-10+23
= 4x2-16x+14
     b) ((g o (h o f))(x) = (g o (h o f)(x)
= (g o (h(2x+1))
= (g o ((2x+1)-2)
= (g o (2x-1))
= (2x-1)2-6(2x-1)+7
= 4x2 -4x+1-12x+6+7
= 4x2-16x+14
Jadi ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Bukti :
Misalkan f(x) = x2 -3x +2 dan I(x) = x
     a) (f o I)(x) = f(I(x))
= f(x)
= x2 -3x +2
     b) (I o f)(x) = I(f(x)
= I(x2 -3x +2)
= x2 -3x +2
Soal :
R. jika g(x) = x2 - 9 dan (g o f))(x)= 4x2 + 12x. tentukan f(x).ﾮ R dan g : R ﾮ1) Diketahui fungsi f: R
Jawab :
Diketahui (g o f)(x)= 4x2 + 12x
(f(x))2 - 9 = 4x2 + 12x
(f(x))2 = 4x2 + 12x + 9
(f(x))2 = (2x + 3)2
F(x) = 2x + 3
Jadi f(x) = 2x + 3
R. jika g(x) = x + 2 dan (f o gf))(x)= 5x + 7, tentukan f(x).ﾮ R dan g : R ﾮ2) Diketahui fungsi f: R
Jawab:
(f o gf))(x)= 5x + 7
f(g(x)) = 5x + 7
f(x + 2) = 5x + 7
Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atas
a) Cara satu :
f(x + 2) = 5x + 7
Pada ruas kanan harus terbentuk factor (x + 2) sehingga
f(x + 2) = 5x + 7
= 5(x + 2) - 10 + 7
= 5(x + 2) - 3
Karena f(x + 2) = 5(x +2) - 3 maka f(x) = 5x - 3.
Jadi, f(x) 5x - 3
b) Cara dua :
Perhatikan f(x +2) = 5x + 7.
Dari persamaan ini, variable ruas kanan adalah (x + 2), sedangkan variable ruas kanan adalah x. dengan demikian, (x + 2) bersesuaian dengan x.
x + 2 = x
x = x - 2
Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variable x di ruas kanan diubah menjadi x - 2. dengan demikian diperoleh :
f(x) = 5(x - 2) + 7
= 5x - 10 + 7
= 5x - 3
Jadi, f(x) = 5x - 3.
D. Fungsi Invers ( Notasinya f -1 )
f
A B
f
f -1
f -1(y) = x f(x) = x
A yang dinyatakan denganﾮ B } maka invers dari fungsi f adalah f -1: B ￎ A, y ￎ B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = { (x, y) | x ﾮJika fungsi f : A
Aￎ B, y ￎf -1 = { (x, y) | x
A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu).ﾮ B memiliki fungsi invers (balikan) f -1 : B ﾮsuatu fungsi f: A
Contoh :
B dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 6, 8} dan f dinyatakan dengan pasangan beruurtan R= {(1, 2 ), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi.ﾮDiketahui fungsi invers f : A
Jawab :
A, yaitu f -1 = { (2,1), (6, 3), (8, 5)}. Dan tampak bahwa f -1 merupakan sebuah relasi yang merupakan fungsi.ﾮInvers fungsi f adalah f -1 : B
1. Menentukan Invers Suatu Fungsi
Syaratnya fungsi tersebut bijektif
Langkah-langkahnya :
a) mengubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(x), karena x = f -1(y) maka kita akan memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y)
b) setelah memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y), ganti variable y dengan variable x sehingga akan memperoleh f -1 (x) yagn sudah dalam variable.
Contoh :
Tentukan rumus invers dari fungsi-fungsi berikut ini .
a) f(x) = 5x + 2
b) f(x) =
Jawab :
a) y = f(x)
y = 5x +2
5x = y - 2
x =
f -1 =
Sehingga f -1 (x) =
b) f(x) =
y = f(x)
y =
xy + 3y = 3 - 4x
4x + xy = 3 - 3y
(4 + y) x = 3 - 3y
x =
f -1(y) =
f -1(x) =
   2. Hubungan Invers dengan Komposisi Fungsi
Untuk mengetahui hubungan invers dengan komposisi fungsi, kita perhatikan uraian berikut :
a. f(x) = x + 5
Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu ;
y = f(x)
y = x + 5
x = y - 5
f -1 (y) = y - 5
jadi, f -1 (x) = x - 5
1) (f o f -1 )(x) = f(f 1 (x)) = f(x-5) = (x-5) + 5 = x
2) (f -1 o f )(x) = f-1(f(x)) = f(x+5) = (x+5) - 5 = x
Dengan demikian, diperoleh :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) =x
b. f(x) = x2 + 6
y = f(x)
y = x2 + 6
x2 = y - 6
ﾱx =
ﾱf -1 =
6ﾳ ; x ﾱf -1 (x) =
6ﾳ , untuk x ﾱ 6 maka f -1 (x) = ﾳUntuk domain f adalah x
Untuk domain f adalah x < 6. oleh karena itu ,ﾳ0 maka f -1 (x) = - , untuk x
1) (f o f -1 )(x) = f(f -1)(x)) = f( ) = ( )2 + 6 = (x - 6) + 6
2) (f -1 o f )(x) = f -1(f )(x)) = f -1(x2 +6) = ( ) = = x
Dengan demikian diperoleh,
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x
Dari uraianb di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya akan menghasilkan fungsi identities sehingga secara umum dituliskan sebagai berikut :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x = I(x)
3. Domain, Kodomain serta Grafik Fungsi dan Inversnya
Untuk menentukan domain, kodomain dan grafik fungsi inversnya, kita lihat contoh berikut.
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. tentukan
a. Carilah f -1
b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers
Jawab.
a. f(x) = 2x + 6
misalkan y = f(x). dengan demikian,
y = 2x +6
2x = y - 6
x = ﾽ y - 3
f -1 (y) = ﾽ y - 3, jadi f -1 (x) = ﾽ x - 3
y
R}. karena domain dari f -1 (x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah himpunan bilangan real. Digambarkan dalam bidang Cartesius :ￎb. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau Df = {x | x
y
6
f(x) = 2x + 6 y = x
-3 0 6 x
-3 f -1(x) = ﾽ x - 3
E. Invers Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g merupakan fungsi maka komposisi fungsi-fungsi itu adalah (f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x)).
Invers dari komposisi didefinisikan sebagai berikut.
Jika u dan v merupakan komposisi dari fungsi f dan g, yaitu u = f o g dan v = g o f, invers dari fungsi u dan v merupakan komposisi dari invers f dan g yang ditulis
u -1 = (f o g) -1 = g -1 o f -1
v -1 = (g o f) -1 = f -1 o g -1
Lihat diagram panah berikut,
f o g
g f
g -1 f -1
g -1 o f -1
f -1 o g -1
Dari diagram di atas tampak bahwa invers dari fungsi komposisi f o g, yaitu
(f o g) -1 diperoleh dengan memetakan c ke b oleh f -1 , kemudian dilanjutkan dengan memetakan b ke a oleh g -1 . dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut.
(f o g) -1 (x) = (g -1 o f -1)(x)
Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh invers fungsi komposisi g o f, yaitu,
(g o f) -1 (x) =( f -1 o g -1)(x)
Contoh :
Diberikan fungsi f dan g, yaitu f(x) = 5x +8 dan g(x) = x - 5.
a. tentukan (f o g) -1(x)
b. tentukan (g o f) -1(x)
c. apakah (f o g) -1(0) = (g o f) -1(0)
Jawab :
Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi ini.
a. Cara 1 :
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x - 5)
=5(x - 5) + 8
= 5x - 17
(f o g) -1(x) dapat ditentukan sebagai berikut.
Misalkan (f o g)(x) = y
y = (f o g)(x)
y = 5x - 17
x =
(f o g) -1(y) =
(f o g) -1(x) =
Jadi, fungsi invers dari (f o g)(x) adalah (f o g) -1(x) =
Cara 2 :
Kita tentukan dulu f -1 (x) dan g -1 (x).
Misalkan y = f(x)
y = f(x)
y = 5x + 8
5x = y - 8
x =
f -1 (y) =
f -1 (x) =
misalkan y = g(x)
y = g(x)
y = x - 5
x = y + 5
g -1 (y) = y + 5
g -1 (x) = x + 5
dengan demikian, kita dapat menentukan invers dari f o g sebagaiberikut.
(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1) (x)
= g -1 o( f -1(x))
= g -1 ( )
= + 5
=
Jadi, fungsi invers dari (f o g) -1(x) =
b. Cara 1 :
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(5x + 8) - 5
= 5x + 3
(g o f) -1(x) dapat kita peroleh dengan memisalkan y = (g o f)(x)
y = (g o f)(x)
y = 5x +3
x =
(g o f) -1(y) =
(g o f) -1(x) =
jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1(x) =
Cara 2 :
Dari jawaban a, diperoleh f -1 (x) = dan g -1 (x) = x + 5. dengan demikian diperoleh :
(g o f) -1 = (f -1 o g -1)(x)
= f -1( g -1 (x))
= f -1( x + 5)
=
=
Jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1 =
c. Dari jawaban b, diperoleh
(g o f) -1(0) =
=
(f o g) -1(0) =
=
Jadi, (g o f) -1(0 ) ? (f o g) -1(0)








BAB  XII
Limit fungsi






Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.
Sejarah
Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta.  Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.
Definisi
Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.
Fungsi pada garis bilangan riil
Bila f : R  R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L  R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

jika dan hanya jika untuk setiap ? > 0 terdapat ? > 0 sehingga |x - p|< ? mengimplikasikan bahwa |f (x) - L | < ? . Di sini, baik ? maupun ? merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)
Limit searah

Limit saat: x ? x0+ ? x ? x0-. Maka, limit x ? x0 tidak ada.
Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

atau

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.
Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ? > 0, terdapat sebuah bilangan ? > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ? pada saat 0 < x - p < ?. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ? > 0, terdapat bilangan ? > 0 sehingga |f(x) - L| < ? bilamana 0 < p - x < ?.
Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.
Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.
Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-?, +?}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.
Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

jika dan hanya jika untuk semua ? > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ? bilamana x > S.
Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.
Limit fungsi aljabar
 Jika  , maka   diselesaikan dengan cara sebagai berikut:
1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan
2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar


3. Menggunakan dalil L'Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan
"
Limit fungsi trigonometri
1.
2.
Catatan : Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 1 - cos A =
b.  = csc x
c.    = secan x
d.  cos A - cos B = - 2 sin  (A + B)   sin  (A - B)
e. cos A sin B    = ﾽ{sin(A + B) - sin(A - B)}C.
Limit Mendekati Tak Berhingga
1.  = p , dimana:
a. p =  , jika m = n
b. p = 0, jika n < m
c. p =  , jika n > m

2.  = q, dimana:
a. q =  , bila a > c
b. q = 0, bila a = c
c. q = - , bila a < c
3.


BAB XIII
Turunan.
Turunan adalah suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar. Turunan didasari dari teori turun menurun yang ditemukan oleh 4 Sekawan apank.Cheebodh.Ubaid & ardizzoro. Arti ini penting dalam linguistik dan etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata terbentuk dari beberapa kata dasar. Dalam kimia, turunan adalah senyawa yang terbentuk dari beberapa senyawa. Dalam finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan.proses dari menirunkan disebut diferensiasi
Dalam matematika, turunan dari suatu fungsi adalah satu dari dua konsep utama dalam kalkulus. Invers dari turunan disebut antiturunan atau integral tak tentu.
"
"
"
"
" y' adalah simbol untuk turunan pertama.
" y" adalah simbol untuk turunan kedua.
" y"' adalah simbol untuk turunan ketiga.
simbol lainnya selain  dan  adalah  dan

A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:
1. y = u + v, ==> y' = u'+ v'
2. y = cﾷu,    ==> y'= cﾷ u'
3. y = uﾷv,  ==> y'= vﾷ u' + uﾷ v'
4. y =  ,  ==> y'= (vﾷ u' - uﾷ v') : v2
5. y = un, ==> y'= nﾷun - 1 ﾷ u'
6. y = sin u, ==> y'= cos uﾷ u'
7. y = cos u, ==> y'= - sin uﾷu'
8. y = tan u,  ==> y'= sec2 uﾷu'
9. y = cotan u,  ==> y' = - cosec2 uﾷu'
10. y = sec u, ==> y' = sec uﾷ tan uﾷu'
11. y = cosec, u ==> y' = -cosec uﾷ cotan uﾷu'
Keterangan:
y' : turunan pertama dari y
u' : turunan pertama dari u
v' : turunan pertama dari v
Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u   cos u = sin 2u

B. Aplikasi turunan suatu fungsi
Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:
1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f'(a)
Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah:
y - b = m(x - a)
2) Fungsi f(x) naik, jika f'(x) > 0, dan turun, jika f'(x) < 0
3) Fungsi f(x) stasioner jika f'(x) = 0
4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f''(x) < 0, dan minimum jika f''(x) > 0






Kelas  XII IPA
BAB XIV
Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
A.Integral Tak Tentu
1) Rumus-Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1.   dx  = x + c
2.   a dx = a   dx = ax + c
3.   xn dx =  + c
4.   sin ax dx = -  cos ax + c
5.   cos ax dx =  sin ax + c
6.   sec2 ax dx =  tan ax + c
7.   [ f(x)   g(x) ] dx =   f(x) dx     g(x) dx

Catatan
1.  Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 2sinA cosB = sin(A + B) + sin(A - B)
b. -2sinA sinB = cos(A + B) - cos(A - B)
c. sin2A =
d. cos2A =
e. sin 2A = 2sin A   cos A

2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran
Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka metode pengintegralan yang bisa digunakan adalah:
a.Metode substitusi
Jika bentuk integran :   u v dx , dengan u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du
b. Metode Parsial dengan TANZALIN
Jika bentuk integran :   u dv , dengan u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ? du
Mencari nilai integral
Substitusi

Contoh soal:
Cari nilai dari:





Integrasi parsial
Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:


Contoh soal:
Cari nilai dari:

Gunakan rumus di atas




Substitusi trigonometri
Bentuk Gunakan
 
 
 






Contoh soal: carilah nilai dari










 Lag
Cari nilai dari:   dengan menggunakan substitusi





Masukkan nilai tersebut:



Nilai sin A adalah



Integrasi pecahan parsial
Contoh soal:

Cari nilai dari:





Akan diperoleh dua persamaan yaitu   dan
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil




Rumus integrasi dasar
Umum
Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri












INTEGRAL TENTU
Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval  tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:
  L =  , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)
1.Penggunan Integral Tentu
a) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1
    L =  ,
    untuk f(x)   0 b. Luas daerah L pada gb. 2
   L =  - , atau
   L =     untuk f(x)   0
c. Luas daerah L pada gb. 3
    L =  ,
    dengan f(x)   g(x)
b)  Untuk Menghitung Volume Benda Putar



V =  atau V =
V =  atau V =




V =  atau V =
V =  atau V =

BAB XV
PROGRAM LINEAR

A. Persamaan Garis Lurus




a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:
y - y1 = m(x - x1) b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di
(0, a) adalah:
ax + by = ab
B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear
Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ? c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Gambarkan garis ax + by = c

2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ? c
3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c

C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum
3) Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.

Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum
Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum
Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya maksimumkan  atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan
2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)























BAB  XVI
MATRIKS

A. Transpose Matriks
 Jika A =  , maka transpose matriks A adalah AT =
B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak
Jika A =  , dan B =  , maka A + B =  +  =
C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
 Jika A =  , maka nA = n  =
D. Perkalian Dua Buah Matriks
" Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Amￗn ￗ Bpￗq, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m ￗ q.
" Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen-elemen baris A dengan kolom B.
 Jika A =  , dan B =  , maka
A ￗ B =  ￗ  =
E. Matriks Identitas (I)
" I =
" Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga IￗA = AￗI = A

F. Determinan Matriks berordo 2ￗ2
Jika A =  , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =  = ad - bc
Sifat-sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ﾱ B) = det(A) ﾱ det(B)
2. det(AB) = det(A)   det(B)
3. det(AT) = det(A)
4. det (A-1) =
G. Invers Matriks
" Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila AￗB = BￗA = I, dengan demikian A adalah invers matriks B atau B adalah invers matriks A.
Bila matriks A =  , maka invers A adalah:
 , ad - bc ? 0
" Sifat-sifat invers dan determinan matriks
1) (AￗB)-1 = B-1 ￗA-1
2) (BￗA)-1 = A-1 ￗB-1
H. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol
I. Persamaan Matriks
Bentuk-bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1) A ￗ X = B   X = A-1 ￗ B
2) X ￗ A = B   X = B ￗ A-1

















BAB  XVII
VEKTOR

A.  Vektor Secara Geometri


1. Ruas garis berarah
 = b - a



2. Sudut antara dua vektor adalah  
3. Bila AP : PB = m : n, maka:


B.  Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =  = a1i + a2j + a3k;
  |a| =
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a   b =    = ; ka = k =
C. Dot Product
Apabila diketahui  a =   dan b = , maka:
1. a ﾷ b  = |a| |b| cos
   = a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a ﾷ a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos
4. |a - b|2 = |a|2 + |b|2 - 2|a||b| cos
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a ﾷ b = 0
D. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada a
|p| =
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
p =


BAB  XVIII
TRANSFORMASI
A.  Translasi (Pergeseran) ; T =
   atau
B. Refleksi (Pencerminan)
1. Bila M matriks refleksi berordo 2 ￗ 2, maka:
   atau
2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = - x dapat dicari dengan proses refleksi titik-titik satuan pada bidang koordinat sbb:
Msb x  Msb y My = x My = - x










depan tetap belakang negasi belakang tetap depan negasi dibalik dibalik dinegasi

C. Rotasi (Perputaran)
R[O,  ] R[O, 90 ] R[O, -90 ]








 dibalik depan dinegasi dibalik belakang dinegasi


D. D[O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O
   ==>
E. Komposisi Transformasi
P(x, y)  P'(x', y'); maka
F. Luas Hasil Transformasi
1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap.
Luas bangun hasil transformasi  adalah: L' =

























BAB  XIX
BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ﾅ ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut
Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k bilangan
Aritmetika Beda b = Un - Un - 1 Un = a + (n - 1)b Ut =  (a + U2k - 1) ,   k letak suku tengah, banyaknya suku 2k-1     bbaru =

Geometri Rasio r =
Un = arn-1 Ut =  , dengan t = ﾽ(n + 1) rbaru =

Catatan :
1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan
2. U1 =  a = suku pertama suatu barisan
3. Pada barisan aritmetika berlaku Um - Uk = (m - k)b
B. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
U1 +  U2 + U3 + ﾅ + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb
Deret Jumlah n suku pertama
Aritmetika Sn  =  n(a + Un)   ﾅﾅﾅﾅﾅjika a dan Un diketahui
=  n(2a + (n - 1)b) ﾅﾅﾅﾅ..jika a dan b diketahui

Geometri Sn =   ﾅﾅﾅﾅﾅﾅﾅ jika r > 1
=  ﾅﾅﾅﾅﾅﾅﾅjika r < 1


Catatan:
1. Antara suku ke-n dan deret terdapat hubungan yaitu :
" Un = Sn - Sn - 1
" U1 = a = S1



2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:
"

































BAB  XX
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. Persamaan Eksponen
Untuk a > 0, a    1;  b > 0, b    1, maka berlaku
1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p
2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)
3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0
4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka
a) f(x) = g(x)
b) h(x) = 1
c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0
d) h(x) = - 1  untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
5. Jika  , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.
B. Pertidaksamaan Eksponen
" Untuk a > 1
1.  Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)
2.  Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)
" Jika 0 < a < 1
1.  Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)
2.  Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)
A. Persamaan Logaritma
Untuk a > 0, a   1;  f(x) > 0, g(x) > 0
1. Jika alog f(x) =  alog p, maka f(x) = p
2. Jika alog f(x) =  alog g(x),  maka f(x) = g(x)
B. Pertidaksamaan Logaritma
" Untuk a > 1
1.  Jika alog f(x) >  alog g(x), maka f(x) > g(x)
2.  Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)
" Jika 0 < a < 1
1.  Jika alog f(x) >  alog g(x), maka f(x) < g(x)
2.  Jika alog f(x) <  alog g(x), maka f(x) > g(x)